Las clases de matematicas necesitan un cambio de imagen

Las clases actuales de matemáticas le enseñan a los estudiantes a esperar y a sobresalir en un trabajo que es como pintar por números; quitándole a los niños una habilidad mucho más importante que resolver problemas: Formularlos. En TEDxNYED, Dan Meyer muestra ejercicios probados en salones de clases que incitan a que los estudiantes se detengan y piensen.

Construcciones geométricas con naipes

En la web del matemático George W. Hart encontré, entre sus muchas actividades, la construcción de unos “Hexecontaedros deltoidales” con naipes, las cartas se cortan y encajan sin necesidad de pegamento o cinta adhesiva. Uno el más grande, utiliza 60 cartas, y el más pequeño sólo 30. Aunque el papel de los naipes le da resistencia y flexibilidad a la construcción, también puedes montarlo en cartulina.

Preparación de las tarjetas
A cada tarjeta debemos hacerle cuatro ranuras para cortar y encajar unas con otras (los cortes debes estar cortados con precisión). Para que resulte más fácil puedes imprimir el archivo PDF del modelo que tienes a continuación con lo cual tendrás el tamaño exacto. Una vez impresa la tarjeta, basta con cortar las ranuras y utilizarla como plantilla trazando, con un lápiz, los cortes guía en cada naipe.

Montar la estructura más sencilla:
Una vez cortados los naipes se trata de ir ensamblando las cartas de dos en dos en sus respectivas ranuras. El resultado final será igual a la imagen que encabeza el artículo.

Montar la estructura con 60 tarjetas: 

Lo más difícil es aprender a unir las tarjetas en grupos de tres, como se muestra en la imagen de arriba y evitar que la construcción se desmorone. Para unirlas fíjate que en el pequeño triángulo equilátero que se forma en el centro, cada tarjeta se monta sobre la siguiente, formando un ciclo. Te recomiento que práctiques un poco hasta dar la forma correcta, antes de montar la figura. Una vez que domines el ensamblaje, necesitarás 20 de estos grupos de 3 naipes.

Para unir estos grupos, en las dos ranuras de la parte opuesta de cada naipe ensamblaremos un naipe de otro grupo de tres (en amarillo en la imagen). Una vez ensamblado se formará un pentágono interno cuyos extremos formarán una estrella de naipes de cinco puntas (en verde en la imagen).

El montaje de las 30 tarjetas:
Este montaje es el más resistente pero a la vez el más difícil de hacer ya que todos los ensamblajes son del tipo de tres cartas descrito anteriormente para el montaje de 60 naipes.

http://www.actiludis.com/?p=15532

Números primos visualizados como una animación espiral

NumberSimulation.com es una representación animada de los números primos en una espiral. En la imagen, los números naturales (1, 2, 3…) parten del centro hacia fuera en circunferencias concéntricas. Los segmentos se corresponden con el número de veces en que están divididas esas circunferencias, que cada vez es mayor: la primera está dividida en dos, la segunda en tres, la tercera en cuatro, etcétera. Los segmentos se van separando poco a poco a medida que pasa el tiempo y se «examinan»; los números primos quedan marcados en rojo y se guardan en la lista de la izquierda. En azul mientras tanto aparece un puntero que permite ver las circunferencias que se corresponden con los números naturales. Finalmente, la línea horizontal –debido a esta peculiar construcción– muestra el número de factores primos que componen cada número. A medida que se examinan se ve que los números primos surgen, como es lógico, cuando ningún segmento (es decir, «otro número») interrumpe esa línea horizontal.

The eyeballing game

¿Que tan preciso es tu "ojo geométrico"? http://woodgears.ca/eyeball/index.html

Funciones elementales

http://conteni2.educarex.es/mats/11824/contenido/

Interpretación geométrica de la derivada

http://data.imatematicas.es/derivada/deriv.htm

Factorización

http://atenex2.educarex.es/ficheros_atenex/bancorecursos/11823/contenido/index.html

¿Quién ganará la Eurocopa?

El viernes 8 de junio comienza la Eurocopa 2012 ¿Tienes pensado apostar? Si es así te recomiendo confiar en los datos, en las Matemáticas y en la Estadística.  La compañia española Bayes Forecast ha elaborado un  Simulador de Probabilidades. Es un modelo predictivo basado en la fuerza deportiva de cada equipo… es decir en la capacidad de marcar goles.

Según las predicciones de Bayes, los cinco equipos con mayores probabilidades de ganar la Eurocopa 2012 son: España  20,9%, Alemania 15,09 %, Holanda  13,6 %, Inglaterra  7,9 % y Portugal 7,1 %.

Un modelo predictivo sobre competiciones deportivas no es algo nuevo ni original, lo interesante es saber qué tipo de datos se utilizan para construir el algoritmo de predicción.

La muestra utilizada para determinar los parámetros son los partidos oficiales de clubes desde 1 998 y de selecciones desde 1 992. En total más de 100 000 encuentros. La formulación del modelo es:

La ecuación de la imagen describe el resultado (visto como diferencia de goles, entre un equipo “a” que actúa como local y un equipo “b” que actúa como visitante) como diferencia de sus respectivas fuerzas deportivas a las que se les suma el factor campo, más un término de error.

No obstante, Bayes Forecast es consciente de las limitaciones y ausencia de información, del modelo,  en torno a: los jugadores que participan, presupuesto del club, aficionados que estarán presentes, meteorología o estados anímicos.

Bayes lleva más de 10 años representando el fútbol mediante un modelo matemático. Fue fruto de la necesidad, la de medir el comportamiento social de cara a la venta de diarios deportivos.

Y ahora … ¿piensas apostar? Para probar si la ciencia funciona les dejo los resultados del Grupo C, el grupo de España en la primera fase:

http://www.sorayapaniagua.com/2012/06/01/datos-matematicas-y-estadisticas-quien-ganara-la-eurocopa/

Matemáticas y matemáticos

http://www.catedu.es/matematicas_blecua/histo/histomates.htm

 

3D Function Online | Archimy.com

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Demostración (sin palabras) de la fórmula para calcular el área de un círculo.

Las demostraciones visuales sin palabras son, sin duda, de lo más maravilloso que podemos encontrar en matemáticas. Suelen ser sorprendentemente claras y tremendamente brillantes. Quizás una de las más llamativas es la demostración de la fórmula para calcular el área de un círculo. Aquí les dejo el vídeo:


http://www.youtube.com/user/minutephysics?feature=watch https://www.facebook.com/MinutePhysics

El balón imposible de la Champions

Este sábado se jugó la final de la Liga de Campeones, un partido que se siguió en todo el mundo, pero ¿sabías que su logotipo oficial encierra un gran error matemático?
El logo de la Champions representa un balón en el que se ven unas estrellas negras que dejan espacio para unos polígonos blancos. Unas veces esas estrellas confluyen de tres en tres, dando lugar a un polígono de seis lados; otras, se juntan de cuatro en cuatro, creando un polígono blanco de ocho lados. Sin embargo, en el balón que se utilizará este sábado por la noche se aprecia que nunca confluyen cuatro estrellas, sino que siempre son tres las que delimitan los espacios en blanco.

Tanto el logo como el balón están diseñados a partir de un poliedro llamado icosidodecaedro, cuyas caras son triángulos y pentágonos dispuestos de una forma más o menos regular. El problema es que si combinásemos triángulos, pentágonos y cuadrados del modo descrito en el logo, la figura resultante no rodaría demasiado bien. De ahí los cambios realizados en el balón.
Hay que tener en cuenta, además, que el icosidodecaedro tiene una esfericidad del 86%, así que, atendiendo a su diseño, tampoco sería correcto hablar de una esfera como sinónimo de balón. Pero no se asusten, que en este caso también hay una pequeña trampa: como la pelota es de cuero, al inflarse también se curvan las caras del poliedro, con lo que se obtiene una esfera casi perfecta, que tantas alegrías y penas provoca en los estadios.
¿Quieres fabricar tu propia pelota de la Champions? Simplemente hay que cortar, doblar por los bordes y pegar con cinta adhesiva este poliedro.

 http://blogs.cadenaser.com/grado-361/2012/05/19/el-balon-imposible-de-la-champions/

Números pares e impares

“La serie de los números pares es justamente la mitad de la serie total de números. La serie de los números impares es exactamente la otra mitad. La serie de los pares y la serie de los impares son —ambas— infinitas. La serie total de los números es también infinita. ¿Será entonces doblemente infinita que la serie de los números pares y que la serie de los impares? Sería absurdo pensarlo, porque el concepto de infinito no admite ni más ni menos. ¿Entonces, las partes —la serie par y la impar—, serán iguales al todo? —Átenme ustedes esa mosca por el rabo y díganme en qué consiste lo sofístico de este argumento.
Mairena gustaba de hacer razonar en prosa a sus alumnos, para que no razonasen en verso.”

Antonio Machado Ruiz (1875-1939) en Juan de Mairena. Apuntes inéditos (1936).

http://ppcarretero.wordpress.com/2012/05/14/numeros-pares-e-impares/

Lecturas matemáticas

En esta pagina se presentan libros de lectura para alumnos en los distintos niveles de educación . A la vez que fomentan la lectura, nos muestra como a través de las Matemáticas podemos pasar un buen rato con la lectura de cualquiera de estos libros.

Cada libro esta acompañado de su correspondiente guía de lectura (para descargar en Word o Pdf) 

Muy recomendable

http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/LecturasRecomendadas.htm#43

Polinomios por la espalda

Un brazo robot se plantea con frecuencia, para su funcionamiento, el "problema cinemático": si mi hombro está doblado en un ángulo θ₁ , y mi codo en un ángulo θ₂ , ¿donde está mi mano?.
Con un poco de trigonometría, sabiendo lo que le mide el brazo y el antebrazo, el robot lo resuelve en un momento.
Más complicado es el "problema cinemático inverso": si quiero poner mi mano en cierto punto ¿que ángulos tengo que poner en mi brazo y en mi codo?. Nito puede demostrar que, si el robot esta en el punto (0,0), con brazo y antebrazo de un metro de largo, y el punto donde quiere poner la mano es (a,b), el seno del ángulo en el hombro tiene que satisfacer lo siguiente (x=sen(θ₁) ): 

4(a²+b²)x² - 4(a²b +b³)x + (a²+b²) - 4a² = 0

Que como es un polinomio de grado dos en x, hay dos soluciones (para a y b cercanos al origen).
Osea, que hay dos maneras de rascarse la espalda cuando te pica un punto: 

Y también: un punto situado fuera del alcance (2 metros en el caso del robot) no tiene solución real porque el discriminante de la anterior ecuación es negativo. De ahí que por bajito que uno sea, si puede girar su codo un ángulo de seno complejo puede llegar tan alto como quiera.

Los logaritmos

¿Qué son los logaritmos? ¿Para qué sirven? ¿En qué se aplican?

Quiero contar una breve historia. No estoy seguro de que haya sido exactamente así, pero es un recuerdo distorsionado de mi pasado.

Para fijar las ideas, digamos que tenía entre 7 y 8 años. Mi padre solía charlar conmigo sobre diferentes situaciones de la vida cotidiana. Trataba de interesarme en lo que sucedía a mi alrededor. Vivió (y mi madre también, claro) intentando que mi hermana y yo entendiéramos la importancia de respetar al otro, de ser generosos, solidarios. No sé si lo consiguió, pero ciertamente lo intentó.

Recuerdo que una vez trajo un librito pequeño, con muchas páginas. Cada página tenía muchos números. Muchos. Cada número figuraba en una pequeña tabla. Si la memoria no me traiciona, creo que en el lomo (del libro) decía: “Tablas de logaritmos de Lalande”.

Aunque parezca raro, mi idea, al ver tantos números, era saber si podía descubrir cómo estaban ordenados y qué patrón podía encontrar. Era fácil advertir que estaban dispuestos de menor a mayor, pero ¿qué separaba a uno del siguiente? ¿Cómo hacer para calcular el próximo sabiendo el anterior?

No me daba cuenta de que, si hubiera habido una manera de hacerlo, ¿para qué alguien habría de escribir y publicar un libro sobre el tema? Es decir, si hubiera habido alguna forma de descubrir el número siguiente, conociendo el anterior, no tendría sentido escribir esas tablas. Sería equivalente a que aparecieran publicadas las tablas de multiplicar.

La pregunta obvia era entonces: ¿para qué sirven? ¿Qué son los logaritmos?

Mi viejo me preguntó: “¿Qué es más fácil: multiplicar o sumar?”. Yo contesté lo mismo que usted está pensando: “sumar”.

Luego –como era esperable– vino otra pregunta de mi padre: “¿Qué es más fácil: calcular potencias de números o multiplicar?”, que obtuvo la respuesta obvia: “multiplicar”.

Y eso, aunque parezca una banalidad, es lo que uno tiene que saber si quiere hacer cálculos en forma más sencilla. Obviamente, en la década de 1950 no había calculadoras ni computadoras. Por lo tanto, si uno tenía que hacer operaciones con números grandes (de muchos dígitos), usar logaritmos era la forma de abordarlos.

En esencia, los logaritmos ayudan a multiplicar números de muchos dígitos. Si bien no voy a hacer acá el desarrollo de la teoría de los logaritmos, lo primero que uno aprende de ellos es que si tuviera que multiplicar dos números “grandes”, lo que hace es calcularles el logaritmo a ambos, luego sumar esos logaritmos y, después, se vuelve para atrás (lo que en la escuela se llama “calcular el antilogaritmo”, o bien uno vuelve para atrás con la función exponencial).

Para simplificar, supongamos que uno tiene que multiplicar dos números escritos como potencias de 10. Digamos 105 x 107 . Dicho de otra forma:

100 000 x 10 000 000, o sea, cien mil por diez millones.

El número 5 –que aparece en 105– cuenta la cantidad de “ceros” que tiene el primer número, y de la misma forma el número 7 –que aparece en 107–cuenta el número de ceros que tiene el segundo.

Entonces, si uno calcula los logaritmos de ambos, obtiene 5 y 7. Los suma y obtiene el número 12. “Volver para atrás”, en este caso, significa poner un uno seguido de doce ceros, y por lo tanto, el resultado de multiplicar 105 x 107 = 1012 = 1 000 000 000 000.

La cantidad de dígitos que tiene un número indica cuán grande es. Lo que hace el logaritmo de ese número –entre otras cosas– es detectar cuántos dígitos tiene y, por lo tanto, saber qué tamaño tiene.

De esa forma, uno tiene idea del tamaño que tendrá el producto. Después lo podrá calcular con mayor o menor precisión, pero estimar el número de dígitos permite estimar el tamaño del producto.

Por supuesto, los logaritmos tienen múltiples aplicaciones que sería imposible enumerar acá. Pero, al menos ahora, si alguien viene y le pregunta para qué puede servir conocer el logaritmo de un número, usted le puede contestar que tener ese dato permite saber (entre otras cosas) el tamaño del número. Permite también convertir multiplicaciones en sumas y potencias en productos. Se usan para convertir cuentas complicadas en otras mucho más sencillas.

Pero el logaritmo (y su inversa, la función exponencial) también se usa para medir la intensidad de un terremoto (en la escala de Richter), para evaluar cuánto tiempo llevaría la solución de un problema mediante una computadora (lo que se llama estimar la complejidad de un proceso), para describir el decaimiento radiactivo de una sustancia, para medir cómo se expande una enfermedad o cómo crece o decrece una colonia de bacterias, para calcular cómo crece un determinado capital invertido en un banco a un cierto interés, en múltiples ocasiones en ingeniería y física... y la lista continúa. Hasta para medir semitonos en las partituras de música están presentes.

Matemática...¿Estás Ahí?. Episodio 100 - Adrián Paenza