Final del juego

–Hay algo más sobre la historia de los logaritmos –dijo el Comisario Inspector Díaz Cornejo–. Daniel Lerner pregunta por qué Neper eligió como base precisamente 0.9999999, y es interesante contarlo, porque está relacionado con la forma de pensar de la época. Neper necesitaba expresar los números como potencias de una base. Ahora bien: no valía la pena inventar los logaritmos para hacer cuenta entre números enteros, de la misma manera que no vale la pena inventar el automóvil para recorrer trayectos de dos metros. La cosa era facilitar las cuentas complejas, que no involucraban a números enteros. Para eso, había que expresar como potencias los números fraccionarios entre los enteros. Para lograrlo, había sólo dos maneras: una era usar potencias fraccionarias, pero las potencias fraccionarias no eran bien conocidas aún en la época de Neper. Otra solución era encontrar un número cuyas potencias crecieran razonablemente despacio como para ir cubriendo los baches entre los números enteros, pero no tan despacio como para que los exponentes se hagan enormes y otra vez el sistema fuera engorroso. Neper llegó a la conclusión de que un número cercano a uno, pero no demasiado cercano sería una base razonable. Resolver este problema le llevó años. –Y en cuanto a la elección precisa de 0.9999999 –siguió– hay que tener en cuenta de que el objetivo de Neper era reducir los engorrosos cálculos que se hacían especialmente en trigonometría, y entonces se dejó llevar por la práctica trigonométrica de entonces, que dividía el radio del círculo unidad en 10.000.000 partes (107), y entonces, si se resta de la unidad su 107-ésima parte, se obtienen el número más cercano a la unidad en este sistema.

–También es bueno recordar que, en realidad, Neper no fue el único inventor de los logaritmos –dijo Kuhn–. Un relojero suizo, Joost Bürgi (1552-1632), construyó una tabla usando más o menos la misma idea de Neper (su base era 1 + 10-4, y a sus logaritmos los llamó “números rojos”), pero, aunque hay evidencias de que Bürgi inventó su tabla ocho años antes de que Neper empezara ocuparse del asunto, no la publicó hasta 1620 (seis años después de la publicación de Neper), y por eso su nombre raramente figura en la historia de las matemáticas.–Publicar o perecer –dijo el Comisario Inspector–. También está el asunto de la espiral logarítmica, que es verdaderamente interesante, y que aparece a cada rato en la naturaleza y en el arte. Por ejemplo, en la ilustración se ve un motivo basado en la espiral logarítmica y el "problema de los cuatro escarabajos".–Pero habría que hablar del enigma de la semana pasada– apuntó Kuhn.–Bueno, dejamos la espiral para otro día. Recordemos el enigma de la semana pasada. Tengo tres cajas. En una hay dos monedas de oro, en otra dos monedas de plata, y en otra una de oro y una de plata. Naturalmente, yo no sé la distribución de cajas y monedas. Ahora bien. Elijo una, y saco una moneda. Es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro? Respuesta: la probabilidad es de dos tercios, y es bastante antiintuitiva. Hay varias maneras de sacarlo. Una: puesto que la primera moneda es de oro, quiere decir que salió, o bien de la caja que tiene dos de oro, o bien de la que tiene dos distintas. Ahora quedan, entonces, tres monedas, dos de oro, y una de plata, lo cual da una probabilidad de dos tercios. Otra manera de verlo, más técnica, como bien la expuso Jorge (no aclaró su apellido) es calcular la probabilidad de que, dado que la moneda que sacamos es de oro, se haya elegido la caja con dos monedas de oro. (publicamos la carta aparte, en correo de lectores, junto con la que envió María de los Angeles Nagy, interesante, porque propone un enigma).Para que el resultado sea más intuitivo, se puede pensar que, una vez que saqué la moneda de oro, significa que la caja que elegí es, o bien la que tiene dos de oro (llamémosla A), o la que tiene una de oro y una deplata (llamémosla B). Pero la probabilidad de que la moneda provenga de la caja A es más alta que la de que provenga de la caja B.–Ahora, haría falta un nuevo enigma.–Sí –, dijo el Comisario Inspector. –Aquí va una paradoja. Supongan que les doy a elegir entre dos sobres cerrados y el único dato que les doy es que en uno hay el doble de dinero que el otro, pero ustedes no saben en cuál. Eligen uno al azar, que llamaremos A. Bien. Ahora, y antes de que lo abran, yo les ofrezco cambiar el sobre que eligieron por el B, que yo conservo. ¿Les conviene cambiarlo?. Ustedes razonan así. “Supongamos que en el sobre A, que elegí, hay 100 pesos. Eso significa que en el B hay, o bien 200 o bien 50. Al cambiar, si pierdo, pierdo 50, pero si gano, gano cien. Por lo tanto, es razonable cambiar.” Y cambian. Les doy el B y ustedes me dan el A. Y bien, entonces, y nuevamente antes de que ustedes abran el nuevo sobre, nuevamente les propongo cambiar. Y como se puede hacer el mismo razonamiento que antes, otra vez elegiría cambiar. Ahora bien. ¿Cómo puede ser que resulte razonable cambiar el B por el A, dado que era razonable cambiar el A por el B? ¿Y si es razonable, por qué aceptaron el primer cambio?
Por Leonardo Moledo
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