Final del juego

–Hay algo más sobre la historia de los logaritmos –dijo el Comisario Inspector Díaz Cornejo–. Daniel Lerner pregunta por qué Neper eligió como base precisamente 0.9999999, y es interesante contarlo, porque está relacionado con la forma de pensar de la época. Neper necesitaba expresar los números como potencias de una base. Ahora bien: no valía la pena inventar los logaritmos para hacer cuenta entre números enteros, de la misma manera que no vale la pena inventar el automóvil para recorrer trayectos de dos metros. La cosa era facilitar las cuentas complejas, que no involucraban a números enteros. Para eso, había que expresar como potencias los números fraccionarios entre los enteros. Para lograrlo, había sólo dos maneras: una era usar potencias fraccionarias, pero las potencias fraccionarias no eran bien conocidas aún en la época de Neper. Otra solución era encontrar un número cuyas potencias crecieran razonablemente despacio como para ir cubriendo los baches entre los números enteros, pero no tan despacio como para que los exponentes se hagan enormes y otra vez el sistema fuera engorroso. Neper llegó a la conclusión de que un número cercano a uno, pero no demasiado cercano sería una base razonable. Resolver este problema le llevó años. –Y en cuanto a la elección precisa de 0.9999999 –siguió– hay que tener en cuenta de que el objetivo de Neper era reducir los engorrosos cálculos que se hacían especialmente en trigonometría, y entonces se dejó llevar por la práctica trigonométrica de entonces, que dividía el radio del círculo unidad en 10.000.000 partes (107), y entonces, si se resta de la unidad su 107-ésima parte, se obtienen el número más cercano a la unidad en este sistema.

–También es bueno recordar que, en realidad, Neper no fue el único inventor de los logaritmos –dijo Kuhn–. Un relojero suizo, Joost Bürgi (1552-1632), construyó una tabla usando más o menos la misma idea de Neper (su base era 1 + 10-4, y a sus logaritmos los llamó “números rojos”), pero, aunque hay evidencias de que Bürgi inventó su tabla ocho años antes de que Neper empezara ocuparse del asunto, no la publicó hasta 1620 (seis años después de la publicación de Neper), y por eso su nombre raramente figura en la historia de las matemáticas.–Publicar o perecer –dijo el Comisario Inspector–. También está el asunto de la espiral logarítmica, que es verdaderamente interesante, y que aparece a cada rato en la naturaleza y en el arte. Por ejemplo, en la ilustración se ve un motivo basado en la espiral logarítmica y el "problema de los cuatro escarabajos".–Pero habría que hablar del enigma de la semana pasada– apuntó Kuhn.–Bueno, dejamos la espiral para otro día. Recordemos el enigma de la semana pasada. Tengo tres cajas. En una hay dos monedas de oro, en otra dos monedas de plata, y en otra una de oro y una de plata. Naturalmente, yo no sé la distribución de cajas y monedas. Ahora bien. Elijo una, y saco una moneda. Es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro? Respuesta: la probabilidad es de dos tercios, y es bastante antiintuitiva. Hay varias maneras de sacarlo. Una: puesto que la primera moneda es de oro, quiere decir que salió, o bien de la caja que tiene dos de oro, o bien de la que tiene dos distintas. Ahora quedan, entonces, tres monedas, dos de oro, y una de plata, lo cual da una probabilidad de dos tercios. Otra manera de verlo, más técnica, como bien la expuso Jorge (no aclaró su apellido) es calcular la probabilidad de que, dado que la moneda que sacamos es de oro, se haya elegido la caja con dos monedas de oro. (publicamos la carta aparte, en correo de lectores, junto con la que envió María de los Angeles Nagy, interesante, porque propone un enigma).Para que el resultado sea más intuitivo, se puede pensar que, una vez que saqué la moneda de oro, significa que la caja que elegí es, o bien la que tiene dos de oro (llamémosla A), o la que tiene una de oro y una deplata (llamémosla B). Pero la probabilidad de que la moneda provenga de la caja A es más alta que la de que provenga de la caja B.–Ahora, haría falta un nuevo enigma.–Sí –, dijo el Comisario Inspector. –Aquí va una paradoja. Supongan que les doy a elegir entre dos sobres cerrados y el único dato que les doy es que en uno hay el doble de dinero que el otro, pero ustedes no saben en cuál. Eligen uno al azar, que llamaremos A. Bien. Ahora, y antes de que lo abran, yo les ofrezco cambiar el sobre que eligieron por el B, que yo conservo. ¿Les conviene cambiarlo?. Ustedes razonan así. “Supongamos que en el sobre A, que elegí, hay 100 pesos. Eso significa que en el B hay, o bien 200 o bien 50. Al cambiar, si pierdo, pierdo 50, pero si gano, gano cien. Por lo tanto, es razonable cambiar.” Y cambian. Les doy el B y ustedes me dan el A. Y bien, entonces, y nuevamente antes de que ustedes abran el nuevo sobre, nuevamente les propongo cambiar. Y como se puede hacer el mismo razonamiento que antes, otra vez elegiría cambiar. Ahora bien. ¿Cómo puede ser que resulte razonable cambiar el B por el A, dado que era razonable cambiar el A por el B? ¿Y si es razonable, por qué aceptaron el primer cambio?
Por Leonardo Moledo
http://www.pagina12.com.ar

Planilandia: Un Romance en muchas dimensiones

Basada en una novela de 1 884 (Flatland) escrita por Edwin Abbott Abbott, y considerada una lectura útil para estudiar el concepto de múltiples dimesiones.

Flatland es el mundo en el que el protagonista de la obra (A. Square, A. Cuadrado) describe cómo se vive en dos dimensiones, las costrumbres y la física de un universo plano. El protagonista
nos guía a través de algunas de las implicaciones de su vida en dos dimensiones. "Cuadrado" tiene un sueño acerca de visitar un mundo unidimensional (Linealandia), e intenta convencer al ignorante monarca de Linealandia acerca de la existencia de una segunda dimensión, la cual no puede ser entendida. "Cuadrado" recibe entonces, la visita de una esfera tridimensional, a la cual no puede comprender hasta ver la tercera dimensión por sí mismo. Entonces tiene un sueño acerca de visitar Puntilandia (compuesta de un sólo punto con consciencia de su existencia que ocupa todo y no sabe de nada aparte de sí mismo) con la Esfera y aprende que no puede rescatar al Punto de su estado de auto-satisfacción. Aprende a aspirar y a enseñar a otros a tener aspiraciones. La relación estudiante-alumno se invierte cuando, tras abrir la mente de la esfera a nuevas dimensiones, "Cuadrado" trata de convencer a la esfera de la existencia de una cuarta dimensión espacial, una quinta, una sexta y así en adelante. "Cuadrado" termina en prisión en Planilandia por sus intento de corromper el pensamiento establecido acerca de las dos únicas dimensiones, pero aún así consigue viajar cuando la esfera lo va a visitar para "sacarlo" de la segunda dimensión.

http://es.wikipedia.org/wiki/Planilandia

Las matemáticas vienen de África

Dos huesos conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Bélgica indican, según los científicos que los han examinado, que los primeros sistemas numéricos se inventaron en África hace 20.000 años, es decir, 15.000 años antes de que la escritura y la numeración aparecieran en Mesopotamia como culminación de la revolución neolítica que propagó la civilización moderna.
Los huesos, de 10 a 14 centímetros de largo y cubiertos de muescas transversales, han protagonizado una reunión científica para intentar descifrar su significado, que concluye hoy en Bruselas. Fueron hallados en los años cincuenta en Ishango (República Democrática de Congo), junto a la cabecera del Nilo. Aunque no pueden datarse directamente por carbono 14, los estratos circundantes indican una edad cercana a los 20.000 años.
Si las muescas se agrupan en cifras, en uno de los huesos aparecen tres grupos de cifras. El primer grupo es 11, 21, 19 y 9; el segundo es 11, 13, 17 y 19, y el otro es 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7. El matemático Dirk Huylebrouck y otros expertos han hecho notar que el primer grupo puede leerse como: 10+1, 20+1, 20-1 y 10-1; que el segundo grupo está formado por números primos, y que el tercero parece seguir más o menos alguna regla de duplicación (de 3 a 6, de 4 a 8, de 5 a 10). Estos expertos ven ahí una indicación de un sistema aritmético complejo en base 10, aunque no logran determinar exactamente de qué tipo.
De hecho, otros estudiosos han combinado las muescas y los grupos de muescas de otras formas para proponer un sistema de numeración en base 6 o 12. Esta hipótesis viene apoyada por la observación de que muchas poblaciones africanas actuales, como los yasgua de Nigeria, utilizan sistemas de base 12 (en la lengua de los yasgua, “13″ se dice “12+1″).
Viene en apoyo de esta teoría una manera de contar habitual en la antigüedad. Con una sola mano, el pulgar va tocando cada falange de los demás dedos (1, 2, 3 en el índice; 4, 5, 6 en el dedo medio, etcétera). Al llegar al 12 (la punta del meñique), se apunta una docena con un dedo de la otra mano y se vuelve a empezar. Es un sistema muy útil para contar con los dedos hasta 72 (seis docenas), y naturalmente está en base 12 (4 por 3 falanges).

EFERVESCENTE2H

El reloj matemático

Visto en http://www.techeblog.com/

Frases matemáticas

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.
René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.

Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos.
Henry David Thoreau (1817-1862) Escritor, poeta y pensador.

Es completamente lícito para una católica evitar el embarazo recurriendo a las matemáticas, aunque todavía está prohibido recurrir a la física o a la química.
Henry-Louis Mencken (1880-1956) Periodista y escritor estadounidense.

Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero.
Bertrand Russell (1872-1970) Filósofo, matemático y escritor inglés.

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.
Albert Einstein (1879-1955) Científico alemán nacionalizado estadounidense.

Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.
Bertrand Russell (1872-1970) Filósofo, matemático y escritor inglés.

Con números se puede demostrar cualquier cosa.
Thomas Carlyle (1795-1881) Historiador, pensador y ensayista inglés.

Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.
Isócrates (436 aC-338 aC) Orador ateniense.

Chile importa sistema japonés para enseñar matemáticas

Las clases en las aulas chilenas son, según investigaciones, predecibles y poco participativas. En Japón, en cambio, nación que obtuvo el sexto lugar en la última prueba PISA, los alumnos debaten sobre la forma en que se llega a los resultados.

Clases con profesores explicando en la pizarra, entregando guías de papel y estudiantes sin hacer preguntas. Esa es la concepción tradicional de una clase de matemáticas y es la que pretenden cambiar a lo largo de Chile más de 600 profesores con la aplicación de un nuevo método de enseñanza de la materia, importado desde Japón.
Los excelentes resultados en las pruebas estandarizadas internacionales del país oriental han hecho que naciones con peores resultados, como Chile e incluso Estados Unidos, acudan a él para que les brinde su asesoramiento. En el caso de Chile, fue la Universidad Católica de Valparaíso, con el apoyo del Mineduc, la que fue en busca de la fórmula y también la que ha capacitado a los maestros para que puedan llevarla a las aulas.
CLASES PREDECIBLES, según concluyó un estudio de Roberto Araya, del Programa de Investigación en Educación de la U. de Chile, las clases de matemática son uniformes, predecibles y no ayudan a desarrollar la curiosidad por los números. A ello se agrega que no fomentan el razonamiento, como concluye en un estudio similar otra investigadora del mismo plantel, Leonor Varas.
Además, según los expertos, los estudiantes chilenos están acostumbrados a resolver grandes cantidades de ejercicios, pero cuando tienen que aplicar las mismas lógicas matemáticas en la vida diaria, pierden la brújula, es decir, aprenden sólo a través de la repetición.
Son estas deficiencias las que se quiere suplir con el sistema matemático nipón. Aunque la idea no es aplicarlo exactamente igual como funciona en Oriente, sino que se adaptarán sus mejores y más exitosas metodologías.
En el país oriental, muy por el contrario, los estudiantes participan y no aprenden a través de la repetición, sino a partir de la resolución de problemas cotidianos. Por ejemplo, una clase típica japonesa comienza con la revisión de la sesión anterior y sigue con la presentación de los problemas del día; luego viene un trabajo individual y posteriormente se discuten los métodos de resolución encontrados. A lo largo de la sesión, el profesor realiza preguntas clave para atraer el pensamiento del alumno.
"Los japoneses desarrollan habilidades relacionadas con destrezas de pensamiento. Cada uno busca soluciones a un mismo problema, potenciando la autonomía", dice Soledad Montoya, académica que ha participado del proyecto en la Universidad Católica de Valparaíso.
Son ya 39 comunas, desde Arica hasta Futaleufú, las que están realizando talleres sectoriales, que se traducen en más de 676 profesores que comenzaron este año, de forma paulatina, a implementar el sistema. A través de sesiones de perfeccionamiento en Valparaíso, los profesores han aprendido cómo el sistema japonés puede implementarse en nuestro país.

http://www.latercera.cl/contenido/28_64682_9.shtml

Fórmula para generar a todos los números

Paul Adrien Maurice Dirac fue un físico inglés del siglo XX considerado un pionero en el campo de la física cuántica. Dirac es recordado como un genio excéntrico por sus ideales y sus brillantes intervenciones. Cuenta la historia que Dirac se encontraba en la Universidad de Göttingen, donde los físicos y matemáticos de la época jugaban a escribir todos los números del 1 al 100 usando todo tipo de operaciones algebraicas únicamente con el número 2.
Por ejemplo para 1 tenemos 2/2, para 2 tenemos (2+2)/2, para 3 tenemos 2^2 – (2/2), ......... Cuando le plantearon el problema a Dirac dió como solución la siguiente ecuación:

donde el número de radicales es igual al número dado N. Con esta solución general, se dejó de jugar en la Universidad de Göttingen.

http://www.genciencia.com/2007/03/29-una-formula-para-generarlos-a-todos

Seis grados de separación

Muchas veces nos sorprendemos de tener un conocido común con la persona menos esperada, o descubrimos que el primo de nuestro mejor amigo vive en nuestro mismo edificio, o encontramos que esa persona también ha sido invitada a la misma fiesta de cumpleaños. Solemos decir entonces, “el mundo es un pañuelo” o alguna expresión semejante. Sin embargo existe una teoría matemática que intenta explicar el que una persona está conectada con cualquier otra por una cadena relativamente corta de intermediarios (unos 6).

Esta teoría recibe el nombre de "seis grados de separación": si los intermediarios son cinco, las conexiones son seis. En inglés también es llamada small world effect, porque esa es la sensación que produce: que el mundo es pequeño, pequeño. Si dispusiera de la información suficiente, podría encontrar la cadena de cinco personas que me conecta con Maradona, el Papa o la persona que justo en este instante está perdiendo su tren en Tokio.
Podemos ser más precisos y determinar qué clase de relación conecta a dos personas. La relación «conoce a» es vaga y difusa, y además asimétrica: yo conozco a Maradona, pero dudo que él sepa de mí. Mejor es «jugó un partido de fútbol con». ¿Cuántos intermediarios me llevarán en este caso hasta Maradona? Los matemáticos tienen el Número de Erdös, que se organiza alrededor de la relación «escribió un paper con».
Hay un juego de salón que se aprovecha de la idea de los seis grados de separación. Kevin Bacon es un actor estadounidense que trabajó en muchas películas pero nunca pudo superar el estigma del segundón; quizás debido a eso despierta cierta simpatía. El juego consiste en pensar en el nombre de un actor o actriz, actual o no, y tratar de conectarlo con Kevin Bacon. La relación entre dos actores debe ser «actuó en la misma película que». Podríamos empezar de esta manera: Marlon Brando actuó con Al Pacino en El Padrino. Al Pacino actuó con Keanu Reeves en El abogado del diablo. Keanu Reeves trabajó con Sandra Bullock en Alta velocidad... y bueno, así hasta llegar a Kevin Bacon. Si nos perdemos, el Oráculo de Kevin Bacon nos puede dar una mano.

Desafío

Todos los años, el 31 de diciembre, el rey de un país muy lejano libera a un condenado que supere una prueba lógica. Para este año, el preso elegido deberá enfrentarse a dos puertas, una la de la libertad y la otra la de la esclavitud. Cada una de ellas está custodiada por un guardián, uno que siempre dice la verdad y otro que siempre miente. El preso tiene derecho a hacer una pregunta, y sólo una, a uno de los guardianes (por supuesto el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente). ¿Qué pregunta debe hacer el prisionero para asegurarse la libertad?

Respuesta: ¿Qué me contestaría tu compañero si le preguntase cuál es la puerta de la libertad? Debería elegir la puerta contraria a la que le señalase el guardián

Geometría Analítica. La Recta

Otro aporte con poco contenido teórico y varios ejercicios.

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Crucimate 1

Acá les dejo un pequeño aporte, un crucigrama matemático.

Las definiciones están en este documento.

Cuadrados Mágicos

Se dice que el emperador de China Lao Tse estaba en la orilla del río Amarillo cuando una tortuga salió de las aguas. Sobre su caparazón, la tortuga llevaba impresos extraños símbolos, que el emperador se encargó de descifrar. Eran los números del 1 al 9 dispuestos armoniosamente en forma de cuadrado: al sumar los tres números de cada fila, de cada columna o de cada diagonal el resultado era siempre el mismo.......... "la constante mágica".

El cuadrado mágico de Alberto Durero, de orden 4, tallado en su obra Melancolía (se encuentra encima de la cabeza y del ala izquierda del ángel) está considerado el primero de las artes europeas, su constante mágica es 34. Esa constante también se encuentra si sumas:

a) Las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado (por rectas que unen los puntos medios de los lados)

b) Los números de las esquinas.

c) Los cuatro números centrales.

d) Los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última.

e) Siendo las dos cifras centrales de la última fila 1 514 el año de ejecución de la obra.

En la fachada de la Pasión de la Sagrada Famila (Barcelona) , hay otro cuadrado mágico , de constante mágica 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. Es parecido al anterior aunque hay repeticiones numéricas .