jueves, 27 de noviembre de 2008

Interés Compuesto

Dentro del tema Matemática Financiera encontramos el Interés Compuesto. A diferencia del Interés Simple, en el compuesto los intereses generados se suman al capital y generan nuevos intereses. Utilizando progresiones geométricas, llegamos a la fórmula que debemos utilizar, que es la siguiente:


con el capital final (Cf), el capital inicial (Ci), el rédito r (tanto por ciento anual) y el tiempo en años.

Veamos el siguiente problema: “En 1964, Maurice Minnifield le prestó 100 dólares a Bill Planey. 28 años después, le devuelve el dinero a su mujer, con unos intereses del 10% computados diariamente. ¿De cuánto es el cheque que Maurice le da a Solva?”, que salió de esta escena de la serie Doctor en Alaska:



Como los intereses de Maurice se suman diariamente, hay que hacer dos cambios en la fórmula: Dividir el rédito en 365 partes y poner el tiempo en días, es decir, multiplicando por 365, con lo que la fórmula para el interés compuesto para periodos de capitalización de 1 día es:

Introduciendo el ella los datos: Ci = 100, r = 10, t = 28, y utilizando la calculadora, obtenemos un capital final Cf = 1643, 83 , es decir, 1643 dólares y 83 centavos. Maurice, haciendo las cuentas de cabeza, obtiene 1643′81. ¡¡Un error de solo 0′02!! Nada mal si tenemos en cuenta que había que elevar a 10220.

martes, 11 de noviembre de 2008

Final del juego

–Hay algo más sobre la historia de los logaritmos –dijo el Comisario Inspector Díaz Cornejo–. Daniel Lerner pregunta por qué Neper eligió como base precisamente 0.9999999, y es interesante contarlo, porque está relacionado con la forma de pensar de la época. Neper necesitaba expresar los números como potencias de una base. Ahora bien: no valía la pena inventar los logaritmos para hacer cuenta entre números enteros, de la misma manera que no vale la pena inventar el automóvil para recorrer trayectos de dos metros. La cosa era facilitar las cuentas complejas, que no involucraban a números enteros. Para eso, había que expresar como potencias los números fraccionarios entre los enteros. Para lograrlo, había sólo dos maneras: una era usar potencias fraccionarias, pero las potencias fraccionarias no eran bien conocidas aún en la época de Neper. Otra solución era encontrar un número cuyas potencias crecieran razonablemente despacio como para ir cubriendo los baches entre los números enteros, pero no tan despacio como para que los exponentes se hagan enormes y otra vez el sistema fuera engorroso. Neper llegó a la conclusión de que un número cercano a uno, pero no demasiado cercano sería una base razonable. Resolver este problema le llevó años. –Y en cuanto a la elección precisa de 0.9999999 –siguió– hay que tener en cuenta de que el objetivo de Neper era reducir los engorrosos cálculos que se hacían especialmente en trigonometría, y entonces se dejó llevar por la práctica trigonométrica de entonces, que dividía el radio del círculo unidad en 10.000.000 partes (107), y entonces, si se resta de la unidad su 107-ésima parte, se obtienen el número más cercano a la unidad en este sistema.

–También es bueno recordar que, en realidad, Neper no fue el único inventor de los logaritmos –dijo Kuhn–. Un relojero suizo, Joost Bürgi (1552-1632), construyó una tabla usando más o menos la misma idea de Neper (su base era 1 + 10-4, y a sus logaritmos los llamó “números rojos”), pero, aunque hay evidencias de que Bürgi inventó su tabla ocho años antes de que Neper empezara ocuparse del asunto, no la publicó hasta 1620 (seis años después de la publicación de Neper), y por eso su nombre raramente figura en la historia de las matemáticas.–Publicar o perecer –dijo el Comisario Inspector–. También está el asunto de la espiral logarítmica, que es verdaderamente interesante, y que aparece a cada rato en la naturaleza y en el arte. Por ejemplo, en la ilustración se ve un motivo basado en la espiral logarítmica y el "problema de los cuatro escarabajos".–Pero habría que hablar del enigma de la semana pasada– apuntó Kuhn.–Bueno, dejamos la espiral para otro día. Recordemos el enigma de la semana pasada. Tengo tres cajas. En una hay dos monedas de oro, en otra dos monedas de plata, y en otra una de oro y una de plata. Naturalmente, yo no sé la distribución de cajas y monedas. Ahora bien. Elijo una, y saco una moneda. Es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro? Respuesta: la probabilidad es de dos tercios, y es bastante antiintuitiva. Hay varias maneras de sacarlo. Una: puesto que la primera moneda es de oro, quiere decir que salió, o bien de la caja que tiene dos de oro, o bien de la que tiene dos distintas. Ahora quedan, entonces, tres monedas, dos de oro, y una de plata, lo cual da una probabilidad de dos tercios. Otra manera de verlo, más técnica, como bien la expuso Jorge (no aclaró su apellido) es calcular la probabilidad de que, dado que la moneda que sacamos es de oro, se haya elegido la caja con dos monedas de oro. (publicamos la carta aparte, en correo de lectores, junto con la que envió María de los Angeles Nagy, interesante, porque propone un enigma).Para que el resultado sea más intuitivo, se puede pensar que, una vez que saqué la moneda de oro, significa que la caja que elegí es, o bien la que tiene dos de oro (llamémosla A), o la que tiene una de oro y una deplata (llamémosla B). Pero la probabilidad de que la moneda provenga de la caja A es más alta que la de que provenga de la caja B.–Ahora, haría falta un nuevo enigma.–Sí –, dijo el Comisario Inspector. –Aquí va una paradoja. Supongan que les doy a elegir entre dos sobres cerrados y el único dato que les doy es que en uno hay el doble de dinero que el otro, pero ustedes no saben en cuál. Eligen uno al azar, que llamaremos A. Bien. Ahora, y antes de que lo abran, yo les ofrezco cambiar el sobre que eligieron por el B, que yo conservo. ¿Les conviene cambiarlo?. Ustedes razonan así. “Supongamos que en el sobre A, que elegí, hay 100 pesos. Eso significa que en el B hay, o bien 200 o bien 50. Al cambiar, si pierdo, pierdo 50, pero si gano, gano cien. Por lo tanto, es razonable cambiar.” Y cambian. Les doy el B y ustedes me dan el A. Y bien, entonces, y nuevamente antes de que ustedes abran el nuevo sobre, nuevamente les propongo cambiar. Y como se puede hacer el mismo razonamiento que antes, otra vez elegiría cambiar. Ahora bien. ¿Cómo puede ser que resulte razonable cambiar el B por el A, dado que era razonable cambiar el A por el B? ¿Y si es razonable, por qué aceptaron el primer cambio?
Por Leonardo Moledo
http://www.pagina12.com.ar

lunes, 10 de noviembre de 2008

Planilandia: Un Romance en muchas dimensiones

Basada en una novela de 1 884 (Flatland) escrita por Edwin Abbott Abbott, y considerada una lectura útil para estudiar el concepto de múltiples dimesiones.

Flatland es el mundo en el que el protagonista de la obra (A. Square, A. Cuadrado) describe cómo se vive en dos dimensiones, las costrumbres y la física de un universo plano. El protagonista
nos guía a través de algunas de las implicaciones de su vida en dos dimensiones. "Cuadrado" tiene un sueño acerca de visitar un mundo unidimensional (Linealandia), e intenta convencer al ignorante monarca de Linealandia acerca de la existencia de una segunda dimensión, la cual no puede ser entendida. "Cuadrado" recibe entonces, la visita de una esfera tridimensional, a la cual no puede comprender hasta ver la tercera dimensión por sí mismo. Entonces tiene un sueño acerca de visitar Puntilandia (compuesta de un sólo punto con consciencia de su existencia que ocupa todo y no sabe de nada aparte de sí mismo) con la Esfera y aprende que no puede rescatar al Punto de su estado de auto-satisfacción. Aprende a aspirar y a enseñar a otros a tener aspiraciones. La relación estudiante-alumno se invierte cuando, tras abrir la mente de la esfera a nuevas dimensiones, "Cuadrado" trata de convencer a la esfera de la existencia de una cuarta dimensión espacial, una quinta, una sexta y así en adelante. "Cuadrado" termina en prisión en Planilandia por sus intento de corromper el pensamiento establecido acerca de las dos únicas dimensiones, pero aún así consigue viajar cuando la esfera lo va a visitar para "sacarlo" de la segunda dimensión.

http://es.wikipedia.org/wiki/Planilandia

martes, 4 de noviembre de 2008

Las matemáticas vienen de África

Dos huesos conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Bélgica indican, según los científicos que los han examinado, que los primeros sistemas numéricos se inventaron en África hace 20.000 años, es decir, 15.000 años antes de que la escritura y la numeración aparecieran en Mesopotamia como culminación de la revolución neolítica que propagó la civilización moderna.
Los huesos, de 10 a 14 centímetros de largo y cubiertos de muescas transversales, han protagonizado una reunión científica para intentar descifrar su significado, que concluye hoy en Bruselas. Fueron hallados en los años cincuenta en Ishango (República Democrática de Congo), junto a la cabecera del Nilo. Aunque no pueden datarse directamente por carbono 14, los estratos circundantes indican una edad cercana a los 20.000 años.
Si las muescas se agrupan en cifras, en uno de los huesos aparecen tres grupos de cifras. El primer grupo es 11, 21, 19 y 9; el segundo es 11, 13, 17 y 19, y el otro es 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7. El matemático Dirk Huylebrouck y otros expertos han hecho notar que el primer grupo puede leerse como: 10+1, 20+1, 20-1 y 10-1; que el segundo grupo está formado por números primos, y que el tercero parece seguir más o menos alguna regla de duplicación (de 3 a 6, de 4 a 8, de 5 a 10). Estos expertos ven ahí una indicación de un sistema aritmético complejo en base 10, aunque no logran determinar exactamente de qué tipo.
De hecho, otros estudiosos han combinado las muescas y los grupos de muescas de otras formas para proponer un sistema de numeración en base 6 o 12. Esta hipótesis viene apoyada por la observación de que muchas poblaciones africanas actuales, como los yasgua de Nigeria, utilizan sistemas de base 12 (en la lengua de los yasgua, “13″ se dice “12+1″).
Viene en apoyo de esta teoría una manera de contar habitual en la antigüedad. Con una sola mano, el pulgar va tocando cada falange de los demás dedos (1, 2, 3 en el índice; 4, 5, 6 en el dedo medio, etcétera). Al llegar al 12 (la punta del meñique), se apunta una docena con un dedo de la otra mano y se vuelve a empezar. Es un sistema muy útil para contar con los dedos hasta 72 (seis docenas), y naturalmente está en base 12 (4 por 3 falanges).