Demostración (sin palabras) de la fórmula para calcular el área de un círculo.

Las demostraciones visuales sin palabras son, sin duda, de lo más maravilloso que podemos encontrar en matemáticas. Suelen ser sorprendentemente claras y tremendamente brillantes. Quizás una de las más llamativas es la demostración de la fórmula para calcular el área de un círculo. Aquí les dejo el vídeo:


http://www.youtube.com/user/minutephysics?feature=watch https://www.facebook.com/MinutePhysics

El balón imposible de la Champions

Este sábado se jugó la final de la Liga de Campeones, un partido que se siguió en todo el mundo, pero ¿sabías que su logotipo oficial encierra un gran error matemático?
El logo de la Champions representa un balón en el que se ven unas estrellas negras que dejan espacio para unos polígonos blancos. Unas veces esas estrellas confluyen de tres en tres, dando lugar a un polígono de seis lados; otras, se juntan de cuatro en cuatro, creando un polígono blanco de ocho lados. Sin embargo, en el balón que se utilizará este sábado por la noche se aprecia que nunca confluyen cuatro estrellas, sino que siempre son tres las que delimitan los espacios en blanco.

Tanto el logo como el balón están diseñados a partir de un poliedro llamado icosidodecaedro, cuyas caras son triángulos y pentágonos dispuestos de una forma más o menos regular. El problema es que si combinásemos triángulos, pentágonos y cuadrados del modo descrito en el logo, la figura resultante no rodaría demasiado bien. De ahí los cambios realizados en el balón.
Hay que tener en cuenta, además, que el icosidodecaedro tiene una esfericidad del 86%, así que, atendiendo a su diseño, tampoco sería correcto hablar de una esfera como sinónimo de balón. Pero no se asusten, que en este caso también hay una pequeña trampa: como la pelota es de cuero, al inflarse también se curvan las caras del poliedro, con lo que se obtiene una esfera casi perfecta, que tantas alegrías y penas provoca en los estadios.
¿Quieres fabricar tu propia pelota de la Champions? Simplemente hay que cortar, doblar por los bordes y pegar con cinta adhesiva este poliedro.

 http://blogs.cadenaser.com/grado-361/2012/05/19/el-balon-imposible-de-la-champions/

Números pares e impares

“La serie de los números pares es justamente la mitad de la serie total de números. La serie de los números impares es exactamente la otra mitad. La serie de los pares y la serie de los impares son —ambas— infinitas. La serie total de los números es también infinita. ¿Será entonces doblemente infinita que la serie de los números pares y que la serie de los impares? Sería absurdo pensarlo, porque el concepto de infinito no admite ni más ni menos. ¿Entonces, las partes —la serie par y la impar—, serán iguales al todo? —Átenme ustedes esa mosca por el rabo y díganme en qué consiste lo sofístico de este argumento.
Mairena gustaba de hacer razonar en prosa a sus alumnos, para que no razonasen en verso.”

Antonio Machado Ruiz (1875-1939) en Juan de Mairena. Apuntes inéditos (1936).

http://ppcarretero.wordpress.com/2012/05/14/numeros-pares-e-impares/

Lecturas matemáticas

En esta pagina se presentan libros de lectura para alumnos en los distintos niveles de educación . A la vez que fomentan la lectura, nos muestra como a través de las Matemáticas podemos pasar un buen rato con la lectura de cualquiera de estos libros.

Cada libro esta acompañado de su correspondiente guía de lectura (para descargar en Word o Pdf) 

Muy recomendable

http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/LecturasRecomendadas.htm#43

Polinomios por la espalda

Un brazo robot se plantea con frecuencia, para su funcionamiento, el "problema cinemático": si mi hombro está doblado en un ángulo θ₁ , y mi codo en un ángulo θ₂ , ¿donde está mi mano?.
Con un poco de trigonometría, sabiendo lo que le mide el brazo y el antebrazo, el robot lo resuelve en un momento.
Más complicado es el "problema cinemático inverso": si quiero poner mi mano en cierto punto ¿que ángulos tengo que poner en mi brazo y en mi codo?. Nito puede demostrar que, si el robot esta en el punto (0,0), con brazo y antebrazo de un metro de largo, y el punto donde quiere poner la mano es (a,b), el seno del ángulo en el hombro tiene que satisfacer lo siguiente (x=sen(θ₁) ): 

4(a²+b²)x² - 4(a²b +b³)x + (a²+b²) - 4a² = 0

Que como es un polinomio de grado dos en x, hay dos soluciones (para a y b cercanos al origen).
Osea, que hay dos maneras de rascarse la espalda cuando te pica un punto: 

Y también: un punto situado fuera del alcance (2 metros en el caso del robot) no tiene solución real porque el discriminante de la anterior ecuación es negativo. De ahí que por bajito que uno sea, si puede girar su codo un ángulo de seno complejo puede llegar tan alto como quiera.